A. Gmail の通知は Gmail を起動した状態でないと通知が来ません。
「Checker Plus for Gmail 」という拡張機能をインストールすることで、Gmail を起動していない状態でも Gmail の通知が表示されるようになります。
なお、拡張機能は管理者側の設定でインストールを制限されていることがあります。ご注意ください。

または、WEB版の Classroom から Chromebook に通知をだすことはできませんが、Google Playから Classroom アプリをダウンロードして Chromebook にインストールすると、Chromebook に通知が届くようになります。

以上の二つが解決策となります。